熱電偶級(jí)聯(lián)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能評(píng)估方法

摘要：為了在缺乏激勵(lì)信號(hào)先驗(yàn)知識(shí)的情況下實(shí)現(xiàn)熱電偶動(dòng)態(tài)性能評(píng)估，提出一種由三只不同偶絲直徑熱電偶組成的級(jí)聯(lián)式溫度測(cè)試系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)評(píng)估方法。該方法基于總體最小二乘Tikhonov正則化算法對(duì)熱電偶級(jí)聯(lián)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行辨識(shí)及時(shí)間常數(shù)解算。對(duì)于熱電偶偶絲直徑較為接近的測(cè)試系統(tǒng)，基于奇異值分解進(jìn)行正則化方法優(yōu)化，可以避免熱電偶信息矩陣共線性造成的時(shí)間常數(shù)病態(tài)估計(jì)，有效拓展了該方法的適用性。通過(guò)數(shù)值仿真進(jìn)行了理論驗(yàn)證，并在一種氣體溫度動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)裝置中進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明奇異值分解正則化時(shí)間常數(shù)估計(jì)方法相比總體最小二乘Tikhonov正則化算法和普通最小二乘算法，辨識(shí)精度分別至少提高了75%和3.5倍，證明了該方法的有效性。
0引言
　　熱電偶成本低廉、現(xiàn)場(chǎng)適應(yīng)性好，在工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。但熱電偶在動(dòng)態(tài)溫度測(cè)量時(shí)存在明顯的滯后特性。為了保證動(dòng)態(tài)溫度測(cè)量的可靠性和正確性，需要對(duì)熱電偶滯后特性進(jìn)行評(píng)估，一般以時(shí)間常數(shù)進(jìn)行量化表征。一般地，時(shí)間常數(shù)估計(jì)基于專用的動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)裝置實(shí)現(xiàn)。溫度動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)裝置要求可以產(chǎn)生快速階躍變化的激勵(lì)信號(hào)，保證激勵(lì)信號(hào)可溯源，并且保證校準(zhǔn)介質(zhì)條件與熱電偶測(cè)試介質(zhì)條件一致[5,6]。研制可靠的熱電偶動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)裝置往往具有較大難度，而且難以保證熱電偶校準(zhǔn)和測(cè)試介質(zhì)條件的一致性。為了解決上述問(wèn)題，發(fā)展出一系列的時(shí)間常數(shù)現(xiàn)場(chǎng)原位估計(jì)方法。其中較為典型的是基于測(cè)量同一物理點(diǎn)的兩支不同偶絲直徑熱電偶的動(dòng)態(tài)溫度響應(yīng)信號(hào)，解算各熱電偶時(shí)間常數(shù)的評(píng)估方法。該方法于1936年首次由Pfriem提出。Tagawaet.al.通過(guò)計(jì)算兩個(gè)激勵(lì)溫度信號(hào)相關(guān)函數(shù)的最大值來(lái)計(jì)算時(shí)間常數(shù)。另外，Hung等，提出β型廣義最小二乘估計(jì)方法，應(yīng)用離散時(shí)間系統(tǒng)辨識(shí)方法對(duì)熱電偶進(jìn)行建模，然后通過(guò)模型參數(shù)解算時(shí)間常數(shù)。但是，當(dāng)兩只熱電偶絲的直徑較為接近，會(huì)造成時(shí)域響應(yīng)接近共線性，由奇異矩陣求解得到的時(shí)間常數(shù)通常出現(xiàn)病態(tài)解，同時(shí)β型廣義最小二乘估計(jì)方差隨著噪聲水平的增長(zhǎng)而迅速增長(zhǎng)，導(dǎo)致返回不合理的時(shí)間常數(shù)估計(jì)值。
本文針對(duì)熱電偶級(jí)聯(lián)系統(tǒng)信息矩陣共線性病態(tài)問(wèn)題，提出一種差值級(jí)聯(lián)動(dòng)態(tài)
　　性能參數(shù)評(píng)估方法，基于總體最小二乘Tikhonov正則化算法評(píng)估測(cè)試系統(tǒng)模型參數(shù)，分析測(cè)試噪聲對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響，同時(shí)基于奇異值分解的Tikhonov正則化優(yōu)化方法，擴(kuò)展了級(jí)聯(lián)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)評(píng)估方法的適用性。對(duì)熱電偶時(shí)間常數(shù)估計(jì)方法做出了有益探索。
1動(dòng)態(tài)性能評(píng)估方法原理
1.1熱電偶級(jí)聯(lián)系統(tǒng)組成
　　級(jí)聯(lián)系統(tǒng)由三支不同絲徑熱電偶組成，各熱電偶盡可能靠近地安裝于同一位置測(cè)試點(diǎn)，獨(dú)立輸出。若忽略安裝位置偏差，可以認(rèn)為在同一測(cè)試點(diǎn)各熱電偶受環(huán)境或其它因素影響是一致的，通過(guò)熱電偶響應(yīng)之間差值計(jì)算，可以降低噪聲對(duì)模型參數(shù)辨識(shí)精度的影響。熱電偶輸出信號(hào)的差值作為級(jí)聯(lián)系統(tǒng)輸出信號(hào)。熱電偶一般可認(rèn)為是一階動(dòng)態(tài)測(cè)試系統(tǒng)[18]，級(jí)聯(lián)系統(tǒng)原理框圖如圖1所示。將三支熱電偶溫度響應(yīng)值互求差值，并建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)模型參數(shù)的辨識(shí)估計(jì)，可以得到各熱電偶時(shí)間常數(shù)估計(jì)值。
 
　　將圖1中熱電偶響應(yīng)信號(hào)和差值信號(hào)進(jìn)行離散化：
 
 
　　將式(3)中矩陣A稱為熱電偶級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的信息矩陣，向量Y稱為觀測(cè)值向量,向量X稱為待辨識(shí)參數(shù)向量。信息矩陣A列向量為各熱電偶響應(yīng)信號(hào)的差值序列，可認(rèn)為其中不含偏置誤差，偏置誤差僅存在于觀測(cè)值向量中，那么基于總體最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)值可以認(rèn)為是無(wú)偏的。總體最小二乘解為：
 
　　式中：σn+1s+為增廣矩陣[AY]的第n+1個(gè)奇異值，I為單位陣。
　　總體最小二乘求解過(guò)程是一個(gè)降正則化的過(guò)程，在求解中可能會(huì)出現(xiàn)病態(tài)或不穩(wěn)定的結(jié)果?；跀?shù)理統(tǒng)計(jì)理論的觀點(diǎn)，總體最小二乘在求解中可以通過(guò)減去1個(gè)系數(shù)誤差的近似協(xié)方差陣σ(n+I)來(lái)達(dá)到減小矩陣ATA中偏差的效果，進(jìn)而得到相對(duì)穩(wěn)定的解[19]。在不等式約束條件下，建立Lagrange多項(xiàng)式：
 
　　式中：λ為L(zhǎng)agrange因子，δ為待辨識(shí)參數(shù)估計(jì)誤差，L為定義范數(shù)的矩陣。
　　通過(guò)式(5)求解參數(shù)X。當(dāng)δ足夠小時(shí)，X滿足如下目標(biāo)函數(shù)[20]：
 
　　基于式(10)可以得到辨識(shí)參數(shù)估計(jì)值，進(jìn)一步解算可得熱電偶時(shí)間常數(shù)估計(jì)值。
2測(cè)量噪聲對(duì)辨識(shí)精度影響的驗(yàn)證分析
　　由于測(cè)量噪聲對(duì)于系統(tǒng)辨識(shí)是否能夠返回?zé)o偏估計(jì)具有重要影響，因此，需要對(duì)上述總體最小二乘正則化模型分析方法進(jìn)行理論驗(yàn)證。分析正弦激勵(lì)信號(hào)和階躍激勵(lì)信號(hào)分別對(duì)于恒定時(shí)間常數(shù)和變化時(shí)間常數(shù)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的影響。其中，正弦信號(hào)波動(dòng)頻率設(shè)為0.1Hz。級(jí)聯(lián)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)分別設(shè)為τ1=0.0238s、τ2=0.38s、τ3=0.9578s。為了說(shuō)明測(cè)量噪聲水平對(duì)于算法結(jié)果的影響，定義信號(hào)噪聲水平K：
 
　　式中：QRMSE表示噪聲方差值，PRMSE表示信號(hào)均方差。對(duì)于給定的噪聲水平，算法性能通過(guò)時(shí)間常數(shù)相對(duì)誤差進(jìn)行評(píng)價(jià)：
 
2.1測(cè)量噪聲對(duì)恒定時(shí)間常數(shù)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的影響
　　在級(jí)聯(lián)系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)加入零均值、等方差的高斯序列噪聲，分析噪聲水平對(duì)于各算法的性能影響。熱電偶傳遞函數(shù)相當(dāng)于單位增益的低通濾波器，同時(shí)加入的噪聲是不相關(guān)的。仿真時(shí)間持續(xù)均為5s，采樣頻率為50Hz。在正弦激勵(lì)信號(hào)和理想階躍激勵(lì)信號(hào)情況下，分別運(yùn)用TLS-Tikhonov算法對(duì)時(shí)間常數(shù)進(jìn)行估計(jì)，時(shí)間常數(shù)殘差點(diǎn)分布分別如圖2和圖3所示。
 
 
　　由圖2，圖3可以看出：在正弦和階躍激勵(lì)信號(hào)條件下，時(shí)間常數(shù)的殘差均在±3×10-3范圍內(nèi)，具有較高的辨識(shí)精度。為了進(jìn)一步對(duì)TLS-Tikhonov算法性能進(jìn)行評(píng)估，將普通最小二乘法(leastsquares,LS)估計(jì)與TLS-Tikhonov算法估計(jì)隨噪聲水平的變化情況分別在正弦與階躍激勵(lì)信號(hào)條件下進(jìn)行比較，如圖4和圖5所示。

　　由圖4和圖5可以看出，在K=0時(shí)，TLS-Tikhonov算法與LS算法差異相對(duì)較小，隨噪聲水平的增加，TLS-Tikhonov算法時(shí)間常數(shù)估計(jì)精度明顯優(yōu)于LS算法。這是由于LS算法的信息矩陣A存在偏置誤差，從而造成估計(jì)值有偏，且與噪聲呈正相關(guān)關(guān)系。因此，對(duì)于有測(cè)量噪聲影響的恒定時(shí)間常數(shù)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，TLS-Tikhonov算法具有較高的辨識(shí)精度。
2.2測(cè)量噪聲對(duì)變化時(shí)間常數(shù)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的影響
　　假設(shè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)熱電偶時(shí)間常數(shù)變化規(guī)律如下：
 
　　式中：τ1(0)=0.0238s，τ2t(0)=0.38s，3t(0)=0.9578s。
　　正弦與階躍激勵(lì)信號(hào)情況下，K=2測(cè)量噪聲水平對(duì)時(shí)間常數(shù)誤差影響曲線分別如圖6，圖7所示：
 
　　如圖6和圖7所示，對(duì)于正弦激勵(lì)信號(hào)情況：在各誤差曲線初始階段，時(shí)間常數(shù)誤差值隨著時(shí)間常數(shù)增大有減小趨勢(shì)，且變化不同步。其原因在于，隨著時(shí)間常數(shù)逐漸增大，各熱電偶溫度響應(yīng)序列相關(guān)系數(shù)逐漸達(dá)到最小值，但是由于其變化過(guò)程不同步，導(dǎo)致各熱電偶時(shí)間常數(shù)辨識(shí)結(jié)果達(dá)到最小值過(guò)程不同步；對(duì)于階躍激勵(lì)信號(hào)情況：基于TLS-Tikhonov算法，時(shí)間常數(shù)τ1估計(jì)結(jié)果很快發(fā)散，且時(shí)間常數(shù)τ2和τ3辨識(shí)精度也較差。這是由于階躍激勵(lì)信號(hào)信息矩陣A存在突變量值，產(chǎn)生了較大的矩陣條件數(shù)。按照陳希孺等[22]給出的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，cond(A)<100，認(rèn)為無(wú)病態(tài)；100<cond(A)<1000，病態(tài)中等程度或較強(qiáng)；cond(A)>1000，有嚴(yán)重病態(tài)性。時(shí)間常數(shù)τ1條件數(shù)變化趨勢(shì)如圖8所示：
 
　　當(dāng)τ1＞0.1s，法矩陣即存在嚴(yán)重病態(tài)性，利用最小二乘類回歸方法必然估計(jì)值不收斂，因此圖7中時(shí)間常數(shù)τ1相較于τ2，τ3發(fā)散較快。因此，對(duì)于有測(cè)量噪聲影響的變化時(shí)間常數(shù)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，TLS-Tikhonov算法的辨識(shí)能力并不理想，需要進(jìn)行算法的改進(jìn)。
2.3基于奇異值分解的Tikhonov正則化優(yōu)化方法
　　當(dāng)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)中各熱電偶偶絲直徑趨于一致時(shí)，級(jí)聯(lián)系統(tǒng)信息矩陣A各列向量之間會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重互相關(guān)情況，從而導(dǎo)致熱電偶時(shí)間常數(shù)估計(jì)病態(tài)嚴(yán)重。本文利用Tikhonov正則化方法，增加全部或部分參數(shù)加權(quán)平方和極小的條件，克服不適定性[23]，從而使解唯一且穩(wěn)定。即用相鄰的適定問(wèn)題的解去逼近原問(wèn)題的解，并利用奇異值分解（singularvaluedecomposition,SVD）對(duì)于求廣義逆的便利性，對(duì)病態(tài)矩陣參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。構(gòu)造準(zhǔn)則函數(shù)：
 
　　用是將不適定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為適定問(wèn)題；a是正則化參數(shù)，起著平衡aM右邊兩項(xiàng)的作用。隨著穩(wěn)定泛函W(X)的不同，有不同的準(zhǔn)則函數(shù)；同時(shí)正則化參數(shù)a選擇也十分重要，穩(wěn)定泛函W(X)一般選為：
 
　　對(duì)于熱電偶級(jí)聯(lián)系統(tǒng)信息矩陣A各列向量中，不存在復(fù)共線性的，用矩陣A1表示，其余列向量用矩陣A2表示，即：
  
　　正則化參數(shù)使用L曲線法計(jì)算：以‖AX−Y‖p為橫坐標(biāo)，以‖X‖H為縱坐標(biāo)畫(huà)圖，得到一條擬合曲線，曲線上曲率最大的那個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值作為所求參數(shù)估計(jì)值[24]。令¢=log‖Y−AX(ɑ)‖，θ=log‖X(ɑ)，則曲線的曲率為參數(shù)ɑ的函數(shù)，有：
 
　　基于理想階躍激勵(lì)信號(hào)，在追求參數(shù)解的模極小和殘差的模極小的過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)的是‖AX−L‖P和‖HX‖H之間的平衡，而這個(gè)平衡點(diǎn)由ɑ來(lái)決定。
3參數(shù)辨識(shí)算法的驗(yàn)證分析
3.1仿真驗(yàn)證分析
　　為評(píng)估階躍激勵(lì)信號(hào)條件下，測(cè)量噪聲對(duì)變化時(shí)間常數(shù)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的影響，將LS、TLS-Tikhonov、Tikhonov-SVD算法對(duì)式(13)所述時(shí)間常數(shù)估計(jì)值偏差列入表1。
 
　　如表1所示結(jié)果，利用Tikhonov-SVD方法時(shí)間常數(shù)估計(jì)值與真值偏差相較于LS算法與TLS-Tikhonov算法有明顯的改善。另一個(gè)角度說(shuō)明，通過(guò)Tikhonov-SVD方法，可以拓寬級(jí)聯(lián)系統(tǒng)關(guān)于熱電偶絲物理?xiàng)l件一致性的使用條件限制，但是隨著噪聲水平的提高，Tikhonov-SVD算法辨識(shí)估計(jì)結(jié)果，以τ2估計(jì)結(jié)果為例，偏差呈上升趨勢(shì)。
3.2實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析
　　算法實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證是基于激勵(lì)信號(hào)先驗(yàn)知識(shí)可獲取的動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)裝置上實(shí)現(xiàn)的，依據(jù)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)裝置激勵(lì)信號(hào)溯源評(píng)估結(jié)果，可以得到時(shí)間常數(shù)的可靠評(píng)估結(jié)果，并以此作為算法性能的評(píng)價(jià)依據(jù)。驗(yàn)證試驗(yàn)采用的動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)裝置如圖9所示，裝置組成部分包括：高壓段腔體、低壓段腔體、真空泵、軸流風(fēng)機(jī)、電加熱器、鋁箔膜片、保溫隔熱裝置[25]。
 
　　熱電偶級(jí)聯(lián)系統(tǒng)由三支K型熱電偶組成，熱電偶偶絲直徑分別為d1=0.02mm、d2=0.3mm、d3=0.8mm。為了保證級(jí)聯(lián)系統(tǒng)熱電偶對(duì)同一物理點(diǎn)進(jìn)行測(cè)試，將三支熱電偶封裝于同一殼體內(nèi)，封裝結(jié)構(gòu)如圖10所示。
 
　　熱電偶級(jí)聯(lián)系統(tǒng)安裝于低壓段腔體，為了使腔體內(nèi)流體速度恒定在腔體出口處安裝節(jié)流噴嘴。高壓段腔體為一密閉回型腔體，在腔體內(nèi)部安裝了電加熱器和內(nèi)置軸流風(fēng)機(jī)，通過(guò)軸流風(fēng)機(jī)和電加熱器的綜合作用，實(shí)現(xiàn)腔體內(nèi)氣體循環(huán)加熱，從而在腔體內(nèi)產(chǎn)生溫度均勻的高溫氣體。為了保證加熱效率和防護(hù)安全，在高壓段外裹覆有保溫絕熱層。
　　首先對(duì)高壓段腔體加壓至額定值，運(yùn)行軸流風(fēng)機(jī)為低壓段腔體內(nèi)氣體循環(huán)流動(dòng)提供動(dòng)力。通過(guò)在高壓段腔體內(nèi)均勻分布的電加熱器對(duì)腔內(nèi)氣體加熱，當(dāng)溫度、壓力達(dá)到額定值，開(kāi)啟真空泵，使得低壓段腔體出口處的鋁箔膜片自然破裂，產(chǎn)生階躍溫度激勵(lì)信號(hào)，作用于熱電偶級(jí)聯(lián)系統(tǒng)上，為了使高溫氣體持續(xù)對(duì)熱電偶產(chǎn)生溫度激勵(lì)，在開(kāi)啟真空泵的同時(shí)打開(kāi)空氣壓縮機(jī)，保持低壓段腔體內(nèi)高壓，記錄傳感器響應(yīng)情況，響應(yīng)結(jié)果如圖11所示，整個(gè)實(shí)驗(yàn)持續(xù)時(shí)間42s，采樣頻率為100Hz。
 
　　基于動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)裝置激勵(lì)信號(hào)和級(jí)聯(lián)系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)，通過(guò)頻域建模法可以對(duì)時(shí)間常數(shù)進(jìn)行可靠估計(jì)，并以此作為時(shí)間常數(shù)的評(píng)價(jià)基準(zhǔn)，LS、TLS-Tikhonov、Tikhonov-SVD算法對(duì)時(shí)間常數(shù)估計(jì)結(jié)果表2所示。
 
　　如表2所示，LS算法由于受到測(cè)量噪聲影響較為嚴(yán)重，τ1、τ2返回值為非合理值；TLS-Tikhonov算法性能與時(shí)間常數(shù)的差異性條件與熱電偶響應(yīng)誤差等有密切關(guān)系，而實(shí)驗(yàn)中熱電偶絲直徑d1與d2較為接近，所得估計(jì)結(jié)果由于信息矩陣共線性病態(tài)嚴(yán)重，時(shí)間常數(shù)估計(jì)值τ1返回值為非合理值；Tikhonov-SVD算法時(shí)間常數(shù)估計(jì)結(jié)果與頻域建模評(píng)估結(jié)果吻合程度較高。以τ3返回值為考核對(duì)象，Tikhonov-SVD算法時(shí)間常數(shù)估計(jì)相對(duì)誤差相比TLS-Tikhonov算法和LS算法，辨識(shí)精度分別提高了75%和3.5倍。
因此，通過(guò)Tikhonov-SVD算法對(duì)時(shí)間常數(shù)進(jìn)行估計(jì)，可以得到較為理想的估計(jì)結(jié)果。
4結(jié)論
　　本文提出了基于TLS-Tikhonov算法的熱電偶時(shí)間常數(shù)估計(jì)方法。通過(guò)建立級(jí)聯(lián)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，由模型參數(shù)辨識(shí)方法實(shí)現(xiàn)時(shí)間常數(shù)估計(jì)。文中運(yùn)用TLS-Tikhonov算法來(lái)處理模型信息矩陣受到噪聲污染的情況，同時(shí)研究噪聲水平分別對(duì)恒定時(shí)間常數(shù)及變化時(shí)間常數(shù)估計(jì)的精度影響。由于級(jí)聯(lián)系統(tǒng)信息矩陣共線性的問(wèn)題，時(shí)間常數(shù)估計(jì)出現(xiàn)嚴(yán)重病態(tài)結(jié)果，同時(shí)由于測(cè)量噪聲的存在，避免產(chǎn)生時(shí)間常數(shù)相似性造成病態(tài)估計(jì)問(wèn)題的條件將更為苛刻?；赥ikhonov-SVD方法可以對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行有效改善。通過(guò)數(shù)值仿真和動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)，分別對(duì)LS方法、TLS-Tikhonov方法和Tikhonov-SVD方法的時(shí)間常數(shù)評(píng)估結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，結(jié)果表明，TLS-Tikhonov方法對(duì)于響應(yīng)信號(hào)受到噪聲污染的情況比LS方法具有更高的辨識(shí)精度，Tikhonov-SVD方法對(duì)于熱電偶物理特性相近造成的信息矩陣共線性情況比TLS-Tikhonov方法具有更高的辨識(shí)精度。因此，在實(shí)踐中熱電偶時(shí)間常數(shù)評(píng)估Tikhonov-SVD方法具有更好的適用性。